Zakres materiału z matematyki

1. Elementy logiki i algebry zbiorów

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
Funkcje zdaniowe.
Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

1.2. Zbiory.
Działania na zbiorach: suma, iloczyn i różnica zbiorów.
Zawieranie się i równość zbiorów.
Wyznaczanie zbioru poprzez funkcję zdaniową.

2. Liczby rzeczywiste

Cechy podzielności liczb naturalnych.
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych, wzory skróconego mnożenia.
Przedziały liczbowe, zbiory ograniczone.
Wartość bezwzględna.
Potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie.

3. Funkcje

3.1. Podstawowe pojęcia.
Wykres.
Własności ogólne: parzystość oraz nieparzystość, monotoniczność, okresowość, miejsca zerowe, wartości ekstremalne.
Przeprowadzanie analizy funkcji elementarnych wg powyższego schematu.
Funkcja odwrotna do danej.
Złożenie funkcji.
Przekształcenia wykresów funkcji.

3.2. Funkcja liniowa.
Wykres.
Układy równań liniowych oraz nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi.
Dyskusja układu równań liniowych z parametrami.
Funkcja kwadratowa. Suma oraz iloczyn pierwiastków równania kwadratowego.
Postać kanoniczna i iloczynowa.
Równania oraz nierówności kwadratowe z parametrem.
Układy równań i nierówności stopnia co najwyżej drugiego.

3.3. Wielomiany.
Stopień wielomianu, pierwiastek wielomianu, wielomiany równe.
Dodawanie, mnożenie, dzielenie wielomianów.
Twierdzenia o podzielności wielomianów, twierdzenie Bezouta.
Rozkład wielomianu na czynniki.
Równania i nierówności wielomianowe. Warunki konieczne istnienia pierwiastków całkowitych i wymiernych.
Funkcje wymierne.
Równania i nierówności wymierne.
Funkcja homograficzna.

3.4. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna.
Wykresy.
Równania i nierówności wykładnicze.
Funkcja logarytmiczna.
Równania i nierówności logarytmiczne.

3.5. Funkcje trygonometryczne.
Wykresy.
Kąt jako miara obrotu.
Miara łukowa kąta.
Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego.
Wykresy.
Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych argumentów.
Funkcje trygonometryczne sumy, różnicy i podwojonego argumentu.
Sumy i różnice wartości funkcji trygonometrycznych.
Równania i nierówności trygonometryczne.

4. Ciągi liczbowe i elementy kombinatoryki

Definicja ciągu i jego własności.
Zasada indukcji matematycznej i przykłady jej zastosowań.
Symbol Newtona, permutacje, kombinacje, wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń.
Ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny.
Granica ciągu nieskończonego, ciągi rozbieżne.
Twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych.
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego.

5. Elementy rachunku różniczkowego

5.1. Granice
Granica funkcji w punkcie (właściwa oraz niewłaściwa).
Granica funkcji w nieskończoności.
Granice jednostronne.
Asymptoty poziome oraz asymptoty pionowe wykresu funkcji.
Twierdzenia o działaniach na granicach funkcji.
Ciągłość funkcji w punkcie oraz w przedziale.
Ciągłość funkcji elementarnych.
Działania na funkcjach ciągłych.

5.2. Pochodna
Iloraz różnicowy funkcji i jego interpretacja.
Pochodna funkcji w punkcie i jej interpretacja; równanie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.
Pochodna funkcji i przykłady obliczania pochodnych z definicji.
Twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu, ilorazu funkcji.
Pochodne wielomianów i funkcji wymiernych.
Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji i wartości ekstremalnych.
Zastosowanie pochodnej, ciągłości funkcji i jej granic do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych.
Badanie przebiegu zmienności funkcji.

6. Geometria płaszczyzny

6.1. Figury geometryczne.
Przekształcenia izometryczne.
Symetria osiowa, translacja, symetria środkowa, obrót.
Figury przystające.
Jednokładność, podobieństwo.
Figury podobne, pola figur podobnych.
Cechy przystawania oraz cechy podobieństwa trójkątów.
Twierdzenie Talesa.

6.2. Wielokąty.
Twierdzenia Pitagorasa, sinusów i kosinusów.
Pole trójkąta.
Pola wielokątów.
Czworokąty: kwadrat, romb, prostokąt, równoległobok, trapez, deltoid i ich własności.

6.3. Okrąg. Długość okręgu, pole koła. Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg.
Okrąg opisany na wielokącie oraz okrąg wpisany w wielokąt (w trójkąt, w czworokąt – warunki).
Wzajemne położenie dwóch okręgów, wzajemne położenie prostej i okręgu.

6.4. Wektory.
Dodawanie wektorów oraz iloczyn wektora przez liczbę.
Iloczyn skalarny wektorów.
Własności działań na wektorach.

7. Geometria przestrzeni trójwymiarowej

7.1. Proste i płaszczyzny.
Proste i płaszczyzny w przestrzeni i ich wzajemne położenie.
Równoległość oraz prostopadłość prostych i płaszczyzn

7.2. Wielościany: graniastosłup, równoległościan, prostopadłościan, czworościan, ostrosłup.

7.3. Bryły obrotowe: walec, stożek, sfera, kula.

7.4. Własności miarowe: pola powierzchni i objętości brył, pola przekrojów płaskich, objętości brył podobnych.
Zastosowanie trygonometrii i rachunku różniczkowego do rozwiązywania zadań dotyczących pól powierzchni i objętości brył.

8. Geometria analityczna na płaszczyźnie

Współrzędne punktu i współrzędne wektora na płaszczyźnie.
Suma wektorów, iloczyn wektora przez liczbę, iloczyn skalarny wektorów – za pomocą współrzędnych.
Długość wektora, odległość punktów, równanie okręgu.
Kąt pary wektorów, wyznacznik pary wektorów.
Pole trójkąta.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, równanie kierunkowe prostej, równanie ogólne prostej.
Warunki prostopadłości oraz równoległości prostych. Wzajemne położenie prostych, okręgów oraz prostej i okręgu.
Odległość punktu od prostej.

9. Rachunek prawdopodobieństwa

Zbiór zdarzeń elementarnych.
Zdarzenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia, własności prawdopodobieństwa.
Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem kombinatoryki.
Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite.
Niezależność zdarzeń.
Schemat Bernoulliego.

 

Polecana literatura

1. Maciej Bryński, Olimpiady matematyczne, WSiP, Warszawa (wiele wydań).
2. Małgorzata Bury, Augustyn Kałuża, Trening przed zawodami matematycznymi, WSiP, Warszawa 1995.
3. Alicja Cewe, Czesław Grajek, Halina Nahorska, Matura zbiór zadań, część II (profil matematyczno-fizyczny), Podkowa Bis, Gdańsk 2002.
4. Rafał Kalinowski, Monika Pilśniak, Ogólnopolska Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH – Matematyka – rozwiązania zadań z lat 2007/08-2017/18, JAK, Kraków 2018, wydanie 2.
5. Egzamin maturalny - matematyka, poziom rozszerzony, zbiór zadań, Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli, Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, cke.gov.pl.
6. Stanisław Kartasiński, Mieczysław Okołowicz, Zbiór zadań maturalnych i egzaminacyjnych (6 części), PZWS, Warszawa 1965.
7. Józef Laszuk, Repetytorium z matematyki, Warszawa 2001.
8. Daniar Ch. Musztari, Przygotowanie do olimpiad matematycznych, Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna „ADAM”, Warszawa.
9. Henryk Pawłowski, Kółko matematyczne dla olimpijczyków, Turpress, Toruń 1994.
10. Henryk Pawłowski, Na olimpijskim szlaku, Oficyna Wydawnicza „Tutor”, Toruń 1999.
11. Henryk Pawłowski, Wojciech Tomalczyk, Zadania z matematyki dla olimpijczyków — gimnazjalistów i licealistów, Oficyna wydawnicza „Tutor”, Toruń 1997.
12. Piotr Pyrdoł, Matematyka, zbiór zadań, cz. 1-3, Operon, Gynia 2006.
13. Wacław Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, WSiP, Warszawa 1986.
14. Witold Stachnik, Zbiór zadań trudnych z matematyki, Wydawnictwo Omega, 2016.
15. Hugo Steinhaus, 100 zadań, PHU „DIP”, Warszawa 1993.