Zakres materiału z matematyki PDF Drukuj Email

 

 

1. Elementy logiki i algebry zbiorów


1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

Funkcje zdaniowe.

Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.


1.2. Zbiory.

Działania na zbiorach: suma, iloczyn i różnica zbiorów.

Zawieranie się i równość zbiorów.

Wyznaczanie zbioru poprzez funkcję zdaniową.

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory.

Przedziały liczbowe, zbiory ograniczone.


2. Wartość bezwzględna.

Potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie – definicje i własności działań


3. Funkcje


3.1. Definicja funkcji.

Wykres.

Własności ogólne: parzystość oraz nieparzystość, monotoniczność, okresowość, różniczkowalność, miejsca zerowe, znaki wartości funkcji, wartości ekstremalne.

Przeprowadzanie analizy funkcji elementarnych wg powyższego schematu.

Funkcja odwrotna do danej.

Złożenie funkcji.

Przekształcenia wykresów funkcji


3.2. Funkcja liniowa.

Wykres.

Układy równań liniowych oraz nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi.

Dyskusja układu równań liniowych z parametrami.


3.3. Funkcja kwadratowa. Wykres funkcji kwadratowej w zależności od współczynników trójmianu, postać kanoniczna oraz postać iloczynowa.

Suma oraz iloczyn pierwiastków równania kwadratowego.

Równania oraz nierówności kwadratowe z parametrem.

Układy równań i nierówności stopnia co najwyżej drugiego.


3.4. Wielomiany.

Stopień wielomianu, pierwiastek wielomianu, wielomiany równe.

Dodawanie, mnożenie, dzielenie wielomianów.

Twierdzenia o podzielności wielomianów.

Rozkład wielomianu na czynniki.

Równania i nierówności algebraiczne.

Funkcje wymierne.

Równania i nierówności wymierne.

Funkcja homograficzna.


3.5. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna.

Wykresy.

Równania i nierówności wykładnicze.
Funkcja logarytmiczna.

Równania i nierówności logarytmiczne.


3.6. Funkcje trygonometryczne.

Wykresy.

Kąt jako miara obrotu.

Miara łukowa kąta.

Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego.

Wykresy.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych argumentów.

Funkcje trygonometryczne sumy, różnicy i podwojonego argumentu.

Sumy i różnice wartości funkcji trygonometrycznych.

Równania i nierówności trygonometryczne


4. Ciągi liczbowe i elementy kombinatoryki

Definicja ciągu i jego własności.

Zasada indukcji matematycznej i przykłady jej zastosowań.

Symbol Newtona, permutacje, kombinacje, wariacje.

Ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny (definicje i własności).

Granica ciągu nieskończonego, ciągi rozbieżne.

Twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego.


5. Elementy rachunku różniczkowego


5.1. Granice.

Granica funkcji w punkcie (właściwa oraz niewłaściwa).

Granica funkcji w nieskończoności.

Granice jednostronne.

Asymptoty poziome oraz asymptoty pionowe wykresu funkcji.

Twierdzenia o działaniach na granicach funkcji x x→0 x limsin.

Ciągłość funkcji w punkcie oraz w przedziale.

Ciągłość funkcji elementarnych.

Działania na funkcjach ciągłych.


5.2. Pochodna.

Iloraz różnicowy funkcji i jego interpretacja.

Pochodna funkcji w punkcie i jej interpretacja; równanie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Pochodna funkcji i przykłady obliczania pochodnych z definicji.

Twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu, ilorazu funkcji.

Pochodna funkcji potęgowej oraz funkcji trygonometrycznych.

Pochodna funkcji złożonej.

Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji i wartości ekstremalnych.

Badanie przebiegu zmienności funkcji.


6. Geometria płaszczyzny


6.1. Figury geometryczne.

Przekształcenia izometryczne.

Symetria osiowa, translacja, symetria środkowa, obrót.

Figury przystające.

Jednokładność, podobieństwo.

Figury podobne.

Cechy przystawania oraz cechy podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie Talesa


6.2. Wielokąty.

Twierdzenia: Pitagorasa, sinusów, cosinusów.

Pole trójkąta.

Pola wielokątów.

Czworokąty: kwadrat, romb, prostokąt, równoległobok, trapez, deltoid i ich własności.


6.3. Okrąg. Długość okręgu, pole koła. Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg.

Okrąg opisany na wielokącie oraz okrąg wpisany w wielokąt (w trójkąt, w czworokąt – warunki).

Wzajemne położenie dwóch okręgów, wzajemne położenie prostej i okręgu.


6.4. Wektory.

Dodawanie wektorów oraz iloczyn wektora przez liczbę.

Iloczyn skalarny wektorów.

Własności działań.


7. Geometria przestrzeni trójwymiarowej


7.1. Proste i płaszczyzny.

Proste i płaszczyzny w przestrzeni i ich wzajemne położenie.

Równoległość oraz prostopadłość prostych i płaszczyzn


7.2. Wielościany: graniastosłup, równoległościan, prostopadłościan, czworościan, ostrosłup.


7.3. Bryły obrotowe: walec, stożek, sfera, kula.


7.4. Własności miarowe: pola powierzchni i objętości brył, pola przekrojów płaskich.

Zastosowanie trygonometrii i rachunku różniczkowego do rozwiązywania zadań dotyczących pól powierzchni i objętości brył.


8. Geometria analityczna na płaszczyźnie.

Współrzędne punktu i współrzędne wektora na płaszczyźnie.

Suma wektorów, iloczyn wektora przez liczbę, iloczyn skalarny wektorów – przy pomocy współrzędnych.

Długość wektora, odległość punktów, równanie okręgu.

Kąt pary wektorów.

Pole trójkąta.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, równanie kierunkowe prostej, równanie ogólne prostej.

Warunki prostopadłości oraz równoległości prostych. Wzajemne położenie prostych, okręgów oraz prostej i okręgu.

Odległość punktu od prostej.


9. Rachunek prawdopodobieństwa

Zbiór zdarzeń elementarnych (skończony).

Zdarzenia.

Algebra zdarzeń.

Prawdopodobieństwo zdarzenia, własności prawdopodobieństwa.

Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem kombinatoryki oraz przy pomocy „drzewka”.

Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite.

Niezależność zdarzeń.

Schemat Bernoulliego.